cho phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m+1=0\)
a, giải phương trình khi m = \(\dfrac{1}{2}\)
b, tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
c, gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để \(x_1\left(1-2x_2\right)+x_2\left(1-2x_2\right)=m^2\)
a. Bạn tự giải
b. Để pt có 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow m+1< 0\Rightarrow m< -1\)
c. Đề bài có vẻ ko chính xác, sửa lại ngoặc sau thành \(x_2\left(1-2x_1\right)...\)
\(\Delta'=\left(m+2\right)^2-4\left(m+1\right)=m^2\ge0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn luôn có nghiệm
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
\(x_1\left(1-2x_2\right)+x_2\left(1-2x_1\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2-4x_1x_2=m^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+2\right)-4\left(m+1\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Cho phương trình \(x^2-\left(2m-1\right)x+2m-2=0\)
Gọi \(x_1\),\(x_2\) là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức \(A=x_1^2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\(\Delta=4m^2-4m+1-4\left(2m-2\right)=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\)
Do đó pt luôn có nghiệm
Theo định lí Vi-ét:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(A=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)
\(A=4m^2-4m+1-4m+4\)
\(A=4m^2-8m+5\)
\(A=4\left(m-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) m=1
Tick hộ nha 😘
pt có nghiệm \(< =>\Delta\ge0\)
\(< =>[-\left(2m-1\right)]^2-4\left(2m-2\right)\ge0\)
\(< =>4m^2-4m+1-8m+8\ge0\)
\(< =>4m^2-12m+9\ge0\)
\(< =>4\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)\ge0\)
\(=>m^2-2.\dfrac{3}{2}m+\dfrac{9}{4}\ge0< =>\left(m-\dfrac{2}{3}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>pt luôn có 2 nghiệm
theo vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m-1\\x1x2=2m-2\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x1+x2\right)^2-2x1x2=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)
\(A=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2+5\ge5\)
dấu"=" xảy ra<=>m=0
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(2m-2\right)=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(A=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)
\(A=4m^2-8m+5=4\left(m-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\)
cho phương trình : \(2x^2-\left(m+3\right)x+m=0\) (1)
a, chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m
b, gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau A= trị tuyệt đối của \(x_1-x_2\)
a: \(\text{Δ}=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4\cdot2\cdot m\)
\(=\left(m+3\right)^2-8m\)
\(=m^2-2m+9=\left(m-1\right)^2+8>0\forall m\)
=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b: Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{m+3}{2}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(m+3\right)^2-4\cdot\dfrac{m}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(m^2+6m+9\right)-2m}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{3}{2}m+\dfrac{9}{4}-2m}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}m^2-\dfrac{1}{2}m+\dfrac{9}{4}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(m^2-2m+9\right)}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(m^2-2m+1+8\right)}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(m-1\right)^2+2}>=\sqrt{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi m-1=0
=>m=1
Cho phương trình \(x^2-ax+a-1=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\)
\(a\)) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(M=\dfrac{3x_1^2+3x_2^2-3}{x_1^2x_2+x_1x_2^2}\)
\(b\)) Tìm giá trị của \(a\) để: \(P=x_1^2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta nhận thấy tổng các hệ số của pt bậc 2 đã cho là \(1-a+a-1=0\) nên pt này có 1 nghiệm là 1, nghiệm kia là \(a-1\), nhưng do không được giải pt nên ta sẽ làm theo cách sau:
Ta thấy pt này luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Viète:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\\x_1x_2=a-1\end{matrix}\right.\)
Vậy, \(M=\dfrac{3\left(x_1^2+x_2^2\right)-3}{x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}\)
\(M=\dfrac{3\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-3}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3\left(a^2-2\left(a-1\right)\right)-3}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3\left[\left(a-1\right)^2-1\right]}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3a\left(a+2\right)}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3a+6}{a-1}\)
b) Ta có \(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=a^2-2\left(a-1\right)=\left(a-1\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\). Vậy để P đạt GTNN thì \(a=1\)
cho phương trình \(2x^2-\left(m+3\right)x+m=0\) (1) với m là tham số
a, giải phương trình khi m = 2
b, chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi \(x_1;x_2\) là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = \(\left|x_1-x_2\right|\)
a, Khi m=2, phương trình trở thành:
\(2x^2-5x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy với m=2, phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{1}{2};x=2\)
b, \(\Delta=\left(m+3\right)^2-8m=m^2-2m+9=\left(m-1\right)^2+8>0,\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
Theo định lí Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+3}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=\dfrac{m^2+6m+9}{4}\\4x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\dfrac{m^2-2m+9}{4}\)
\(\Rightarrow A=\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt{m^2-2m+9}}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}}{2}\ge\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow minA=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=1\)
pt: \(2x^2-\left(m+3\right)x+m=0\left(1\right)\)
a, khi m=2 ta có: \(2x^2-5x+2=0\)(2)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-4.2.2=9>0\)
vậy pt(2) có 2 nghiệm phan biệt \(x3=\dfrac{5+\sqrt{9}}{2.2}=2\)
\(x4=\dfrac{5-\sqrt{9}}{2.2}=0,5\)
b,từ pt(1) có \(\Delta=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4m.2=m^2+6m+9-8m\)
\(=m^2-2m+9=\left(m-1\right)^2+8>0\left(\forall m\right)\)
vậy \(\forall m\) pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
điều kiện để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt không âm khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\left(cmt\right)\\x1+x2>0\\x1.x2>0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+3}{2}>0\\\dfrac{m}{2} >0\end{matrix}\right.\)\(< =>\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m>0\end{matrix}\right.\)
\(< =>m>0\)
theo vi ét =>\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=\dfrac{m+3}{2}\\x1.x2=\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)
\(=>A=\left|x1-x2\right|\)
\(=>A=\sqrt{\left(x1-x2\right)^2}=\sqrt{\left(x1+x2\right)^2-4x1x2}\)
\(A=\sqrt{\left(\dfrac{m+3}{2}\right)^2-4\dfrac{m}{2}}=\sqrt{\dfrac{m^2+6m+9-8m}{4}}\)
\(A=\sqrt{\dfrac{\left(m-1\right)^2+8}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}\)\(\ge\sqrt{2}\)=>Min A=\(\sqrt{2}\)
dấu = xảy ra <=>m=1(TM)
Cho phương trình \(x^{^2}-2\left(m+1\right)x+3m=0\) m là tham số
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm thỏa\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\)
b) Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức :
\(A=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2\) đạt gia trị nhỏ nhất
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
Cho phương trình: $x^2 + 2 ( m - 2) x + m^2 - 4m = 0$ (1) (với $x$ là ẩn số).
a. Giải phương trình (1) khi $m = 1$.
b. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.
c. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac3{x_1} + x_2 = \dfrac3{x_2} + x_1$.
a, x = 3 , x= -1
b, m = 3 , m = 1
1 . Cho pt :\(x^2-mx+m-1=0\) . Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và biểu thức \(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\) đạt GTLN
2.Giả sử m là giá trị để phương trình \(x^2-mx+m-2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1^{^2}-2}{x_1-1}.\dfrac{x^2_2-2}{x_2-1}=4\) . Tìm các giá trị của m
1.
\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)
\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)
2.
\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)
\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)
Cho phương trình ẩn \(x\): \(x^2-2\left(m-1\right)x-2=0\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1\), \(x_2\) sao cho biểu thức: \(A=x_1^2+4x_2^2\) có giá trị nhỏ nhất.
\(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4.\left(-2\right)\)
\(=4m^2-8m+8+8\)
\(=4m^2-8m+16\)
\(=3m^2+\left(m-4\right)^2\)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>4\end{matrix}\right.\) \(\rightarrow m>4\)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\left(1\right)\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^2+4x_2^2\)
\(A=x_1^2+\left(2x_2\right)^2\)
\(\Rightarrow Min_A=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=0\\x_2=0\end{matrix}\right.\)
Thế vào (1) ta được: \(0=2m-2\)
\(\Leftrightarrow m=1\)
Cho phương trình: \(x^2+2\left(m+1\right)x+m-4=0\) (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) khi \(m=-5\)
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-3\)
a: Thay m=-5 vào (1), ta được:
\(x^2+2\left(-5+1\right)x-5-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x-9=0\)
=>(x-9)(x+1)=0
=>x=9 hoặc x=-1
b: \(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)=4m^2+8m+4-4m+16=4m^2+4m+20>0\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-3\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=-3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2+m-4=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+9m=0\)
=>m(4m+9)=0
=>m=0 hoặc m=-9/4
